Возможно, в искусстве или литературе красота, возможно, потеряла свою актуальность в последние годы как стандарт суждения или критерий превосходства, считающийся слишком субъективным или культурно опосредованным. Однако для математиков красота как вечная истина никогда не выходила из моды. «Красота - это первое испытание: в этом мире нет постоянного места для уродливой математики», - писал британский теоретик чисел Годфри Харди в 1941 году.
Чтобы почувствовать вкус математической красоты, начните с того, что отправитесь в свой любимый паб и закажите морозную кружку пива. Поместите его на бумажный коврик три раза, образуя три кольца конденсации - убедитесь, что все три кольца пересекаются в одной точке. Теперь спросите своих компаньонов: насколько большая кружка понадобится, чтобы покрыть другие три точки пересечения? Почти всегда предполагается, что только гигантская кружка будет служить этой цели. Сюрприз ответ: та же кружка! Это абсолютно надежное решение. (См. Рисунок слева для двух одинаково действительных решений; в каждом случае сплошные кружки - это первые три кольца; пунктирная окружность - это четвертое кольцо, представляющее кружку, покрывающую остальные три точки пересечения.)
Эта теорема была опубликована Роджером А. Джонсоном в 1916 году. Теорема Джонсона об окружности демонстрирует два основных требования к математической красоте. Во-первых, это удивительно. Вы не ожидаете, что круг того же размера снова появится в решении. Во-вторых, это просто. Используемые математические понятия, круги и радиусы, являются основными, которые выдержали испытание временем. Тем не менее, теорема Джонсона терпит неудачу в отделе красоты в одном существенном отношении. Лучшие теоремы также глубоки, содержат много слоев смысла и раскрывают больше, когда вы узнаете о них больше.
Какие математические факты соответствуют этому высокому стандарту красоты? Немецкий математик Стефан Фридл высказался в пользу теоремы Григория Перельмана о геометрии, доказательство которой было изложено только в 2003 году. Теорема, которая создала сенсацию в мире математиков, продвигает ключевой шаг в классификации трехмерных топологических пространства. (Вы можете думать об этих пространствах как о возможных альтернативных вселенных.) «Теорема геометризации, - говорит Фридл, - является объектом потрясающей красоты».
Если говорить в простейших терминах, в нем говорится, что большинство вселенных имеют естественную геометрическую структуру, отличную от той, которую мы изучаем в средней школе. Эти альтернативные вселенные не являются евклидовыми или плоскими. Вопрос связан с искривлением самого пространства. Есть разные способы объяснить, что это значит; самый точный математически - сказать, что альтернативные вселенные являются «гиперболическими» или «отрицательно изогнутыми», а не плоскими.
Математики только начинают бороться с последствиями. Астрофизические данные показывают, что наша собственная вселенная плоская. И все же в этих альтернативных вселенных плоскостность не является естественным состоянием. Согласно теореме Перельмана, наша внешне плоская вселенная представляет собой удивительное исключение.
Еще одна причина, по которой эта теорема привлекла международное внимание, связана с самим математиком. В 2010 году скрытный русский отказался от приза в миллион долларов за свой прорыв в Клейском математическом институте в Кембридже, штат Массачусетс. Очевидно, для Перельмана математическая красота не была чем-то, что можно было бы купить и оплатить. Изменение нашего понимания вселенной было достаточно наградой.
