20 марта американо-канадский математик Роберт Лэнглендс получил премию Абеля, отмечающую пожизненные достижения в области математики. Исследования Ленглендса показали, как понятия из геометрии, алгебры и анализа можно объединить общей связью с простыми числами.
Когда король Норвегии вручит награду Лэнгленду в мае, он будет отмечать последние достижения в течение 2300 лет, чтобы понять простые числа, возможно, самый большой и самый старый набор данных в математике. Как математик, посвященный этой «программе Ленглендса», я очарован историей простых чисел и тем, как последние достижения раскрывают их секреты. Почему они пленили математиков на протяжении тысячелетий?
Для изучения простых чисел математики натягивают целые числа через одну виртуальную сетку за другой, пока не останутся только простые числа. Этот процесс просеивания дал таблицы миллионов простых чисел в 1800-х годах. Это позволяет современным компьютерам находить миллиарды простых чисел менее чем за секунду. Но основная идея сита не изменилась за 2000 лет.
«Простое число - это то, что измеряется одной единицей», - написал математик Евклид в 300 г. до н.э. Это означает, что простые числа не могут быть равномерно разделены на любое меньшее число, кроме 1. По соглашению, математики не считают себя 1 как простое число. Евклид доказал бесконечность простых чисел - они продолжаются вечно - но история предполагает, что именно Эратосфен дал нам решето для быстрого перечисления простых чисел.
Вот идея сита. Сначала отфильтруйте кратные 2, затем 3, затем 5, затем 7 - первые четыре простых числа. Если вы сделаете это со всеми числами от 2 до 100, останутся только простые числа.
Разбрасывание кратных 2, 3, 5 и 7 оставляет только простые числа от 1 до 100. (Предоставлено М. Х. Вейсманом)С помощью восьми этапов фильтрации можно выделить до 400 простых чисел. С помощью 168 этапов фильтрации можно выделить до 1 миллиона простых чисел. Это сила сита Эратосфена.
**********
Ранним человеком в табулировании простых чисел является Джон Пелл, английский математик, который посвятил себя созданию таблиц полезных чисел. Он был мотивирован для решения древних арифметических задач Диофанта, а также для личного поиска математических истин. Благодаря его усилиям простые числа до 100 000 были широко распространены в начале 1700-х годов. К 1800 году независимые проекты суммировали простые числа до 1 миллиона.
Чтобы автоматизировать утомительные шаги просеивания, немецкий математик по имени Карл Фридрих Гинденбург использовал регулируемые ползунки, чтобы вырезать кратные данные по всей странице таблицы одновременно. Другой низкотехнологичный, но эффективный подход использовал трафареты для определения местоположения магазинов. К середине 1800-х годов математик Якоб Кулик начал амбициозный проект по поиску всех простых чисел до 100 миллионов.
Трафарет, использованный Куликом для просеивания числа, кратного 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Изображение предоставлено Денисом Рогелем, автор предоставлен)Эти «большие данные» 1800-х годов могли бы служить лишь справочной таблицей, если бы Карл Фридрих Гаусс не решил анализировать простые числа ради них самих. Вооружившись списком простых чисел до 3 миллионов, Гаусс начал считать их по одной «чилиаде» или группе из 1000 единиц за раз. Он считал простые числа до 1000, затем простые числа между 1000 и 2000, затем между 2000 и 3000 и так далее.
Гаусс обнаружил, что, поскольку он считал выше, простые числа постепенно становятся менее частыми согласно закону «обратного логарифма». Закон Гаусса не показывает, сколько именно простых чисел, но дает довольно хорошую оценку. Например, его закон предсказывает 72 простых числа между 1 000 000 и 1 001 000. Правильный счет - 75 простых чисел, ошибка около 4 процентов.
Спустя столетие после первых исследований Гаусса, его закон был доказан в «теореме о простых числах». Процентная ошибка приближается к нулю при больших и больших диапазонах простых чисел. Гипотеза Римана, проблема приза в миллион долларов сегодня, также описывает, насколько точна оценка Гаусса.
Теорема о простых числах и гипотеза Римана привлекают внимание и деньги, но оба следуют более раннему, менее эффектному анализу данных.
.....
Сегодня наши наборы данных поступают из компьютерных программ, а не из вырезанных вручную трафаретов, но математики все еще находят новые закономерности в простых числах.
За исключением 2 и 5, все простые числа заканчиваются цифрой 1, 3, 7 или 9. В 1800-х годах было доказано, что эти возможные последние цифры одинаково часты. Другими словами, если вы посмотрите на простые числа до миллиона, около 25 процентов заканчиваются на 1, 25 процентов заканчиваются на 3, 25 процентов заканчиваются на 7, а 25 процентов заканчиваются на 9.
Несколько лет назад теоретики из Стэнфорда Лемке Оливер и Каннан Саундарараджан были застигнуты врасплох последними цифрами простых чисел. Эксперимент рассматривал последнюю цифру простого числа, а также последнюю цифру следующего простого числа. Например, следующий штрих после 23 - это 29: каждый видит 3, а затем 9 в последних цифрах. Видят ли 3, затем 9 чаще, чем 3, а затем 7, из последних цифр простых чисел?
Частота пар последних цифр среди последовательных простых чисел до 100 миллионов. Соответствующие цвета соответствуют соответствующим промежуткам. (М. Х. Вайсман, CC BY)Теоретики чисел ожидали некоторого изменения, но то, что они обнаружили, намного превзошло ожидания. Простые числа разделены разными пробелами; например, 23 - это шесть чисел от 29. Но простые числа 3-х-9, такие как 23 и 29, встречаются гораздо чаще, чем простые числа 7-х-3, хотя оба из них имеют разрыв в шесть.
Математики вскоре нашли правдоподобное объяснение. Но когда дело доходит до изучения последовательных простых чисел, математики (в основном) ограничены анализом данных и убеждением. Доказательства - золотой стандарт математиков для объяснения того, почему все верно, - кажутся десятилетиями.
Эта статья была первоначально опубликована на разговор.
Мартин Х. Вайсман, доцент математики, Калифорнийский университет, Санта-Круз