Скорее всего, вы сталкивались с односторонними объектами сотни раз в своей повседневной жизни - например, универсальный символ для утилизации, напечатанный на обороте алюминиевых банок и пластиковых бутылок.
Этот математический объект называется полосой Мёбиуса. С момента своего открытия в 1858 году Августом Мебиусом, немецким математиком, который умер 150 лет назад, 26 сентября 1868 года, он восхищал экологов, художников, инженеров, математиков и многих других.
Мебиус обнаружил одностороннюю полосу в 1858 году, когда служил кафедрой астрономии и высшей механики в Лейпцигском университете. (Другой математик по имени Листинг фактически описал это несколько месяцев назад, но не публиковал свою работу до 1861 года.) Мёбиус, похоже, столкнулся с полосой Мёбиуса, работая над геометрической теорией многогранников, сплошных фигур, состоящих из вершин, ребер и плоских граней.,
Полосу Мёбиуса можно создать, взяв полоску бумаги, придав ей нечетное количество полукруток, затем скрепив концы вместе, чтобы образовать петлю. Если вы возьмете карандаш и нарисуете линию вдоль центра полосы, вы увидите, что линия, очевидно, проходит вдоль обеих сторон петли.
Концепция одностороннего объекта вдохновила таких художников, как голландский графический дизайнер MC Escher, чья гравюра «Möbius Strip II» изображает красных муравьев, ползающих один за другим по полосе Мёбиуса.
У полосы Мёбиуса есть не только одно удивительное свойство. Например, попробуйте взять ножницы и разрезать полоску пополам вдоль линии, которую вы только что нарисовали. Вы можете быть удивлены, обнаружив, что у вас остались не две меньшие односторонние ленты Мебиуса, а одна длинная двусторонняя петля. Если у вас нет листа бумаги, гравюра Эшера «Мёбиус Стрип I» показывает, что происходит, когда полоса Мёбиуса разрезается вдоль ее центральной линии.
В то время как полоса, безусловно, имеет визуальную привлекательность, ее наибольшее влияние оказала математика, которая помогла стимулировать развитие целой области, называемой топологией.
Тополог изучает свойства объектов, которые сохраняются при перемещении, изгибе, растяжении или скручивании, без разрезания или склеивания частей. Например, запутанная пара наушников в топологическом смысле такая же, как и распутанная пара наушников, потому что для перехода одного в другой требуется только перемещение, изгиб и скручивание. Никакой резки или склеивания не требуется для преобразования между ними.
Другая пара объектов, которые являются топологически одинаковыми, это кофейная чашка и пончик. Поскольку оба объекта имеют только одно отверстие, одно можно деформировать в другое, просто растягивая и сгибая.
Кружка превращается в пончик. (Wikimedia Commons) Количество отверстий в объекте - это свойство, которое можно изменить только путем вырезания или склеивания. Это свойство, называемое «родом» объекта, позволяет нам сказать, что пара наушников и пончик топологически различны, поскольку у пончика одна дырка, а у пары наушников дыр нет.
К сожалению, у ленты Мебиуса и двусторонней петли, как у обычного силиконового браслета, оба имеют одно отверстие, поэтому этого свойства недостаточно, чтобы отличить их друг от друга - по крайней мере, с точки зрения тополога.
Вместо этого свойство, которое отличает полосу Мёбиуса от двусторонней петли, называется ориентируемостью. Как и количество отверстий, ориентация объекта может быть изменена только путем вырезания или склеивания.
Представьте себе, что вы пишете себе заметку на прозрачной поверхности, а затем совершаете прогулку по этой поверхности. Поверхность ориентируется, если, возвращаясь с прогулки, вы всегда можете прочитать заметку. На неориентируемой поверхности вы можете вернуться со своей прогулки только для того, чтобы обнаружить, что написанные вами слова, по-видимому, превратились в их зеркальное отображение и могут читаться только справа налево. В двустороннем цикле заметка всегда будет читаться слева направо, независимо от того, куда вас привело ваше путешествие.
Поскольку полоса Мебиуса неориентируема, а двусторонняя петля ориентируема, это означает, что полоса Мебиуса и двусторонняя петля топологически различны.
(Создано Дэвидом Гундерманом) Когда GIF запускается, точки, перечисленные по часовой стрелке, являются черными, синими и красными. Однако мы можем переместить трехточечную конфигурацию вокруг полосы Мебиуса так, чтобы фигура находилась в том же месте, но цвета точек, перечисленных по часовой стрелке, теперь красный, синий и черный. Каким-то образом конфигурация превратилась в свое собственное зеркальное отображение, но все, что мы сделали, это переместили ее на поверхность. Это преобразование невозможно на ориентируемой поверхности, такой как двусторонняя петля.
Концепция ориентируемости имеет важные последствия. Возьми энантиомеры. Эти химические соединения имеют одинаковую химическую структуру, за исключением одного ключевого различия: они являются зеркальным отображением друг друга. Например, химический L-метамфетамин является ингредиентом ингаляторов Vicks Vapor. Его зеркальное отображение, D-метамфетамин, является незаконным наркотиком класса А. Если бы мы жили в неориентируемом мире, эти химикаты были бы неразличимы.
Открытие Августа Мёбиуса открыло новые способы изучения мира природы. Изучение топологии продолжает давать потрясающие результаты. Например, в прошлом году топология привела ученых к открытию странных новых состояний материи. В этом году Медаль Поля, высшая награда в области математики, была вручена Акшаю Венкатешу, математику, который помог интегрировать топологию с другими областями, такими как теория чисел.
Эта статья была первоначально опубликована на разговор.
Дэвид Гандерман, доктор философии студент прикладной математики Университета Колорадо и Ричард Гундерман, профессор медицины, гуманитарных наук и филантропии канцлера Университета Индианы
